प्रायिकता की मूल बातें
प्रायिकता
प्रायिकता कुछ घटित होने की संभावना है। उदाहरण के लिए लॉटरी जीतने की संभावना। या भारत के किसी विशेष क्रिकेट मैच के जीतने की संभावना। या किसी विक्रेता द्वारा बिक्री करने की संभावना आदि। दूसरे शब्दों में, संभाव्यता अनिश्चितता को मापती है। गणितीय रूप से, इसे विचाराधीन परिणामों की संख्या और सभी संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात से परिभाषित किया जाता है।
\[ P(A)=\frac{r}{n} \] \(A\) रुचि की घटना या विचाराधीन घटना है \(r\) घटना \(A\) के परिणामों की संख्या है \(n\) सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या है \(P(A)\) घटना \(P(A)\) घटित होना की प्रायिकता है
संभावनाओं को तीन तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है।
- priori जहां परिणाम पहले से ही ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालते समय, आप जानते हैं कि दो संभावित परिणामों (हेड या टेल) की समान संभावना है।.
- empirically जहां संभावनाओं की गणना के लिए अवलोकन किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक नए टीके का परीक्षण.
- गणितीय रूप से जहां संभावनाओं की गणना के लिए सैद्धांतिक संभाव्यता वितरण कार्यों का उपयोग किया जाता है.
प्रायिकताएँ हमेशा 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच होती हैं। 0 की प्रायिकता का अर्थ है कि घटना के घटित होने की कोई संभावना नहीं है। 1 की प्रायिकता का अर्थ यह निश्चित है कि यह घटना घटित होगी। सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालते समय चितों की प्रायिकता और पट आने की प्रायिकता एक तक जुड़ जाएगी। या एक फ़ुटबॉल मैच में सभी संभावित परिणाम की प्रायिकता 1 है यानी टीम के जीतने की प्रायिकता, टीम के हारने या मैच के ड्रॉ में समाप्त होने या मैच रद्द होने की संभावना 1 तक जुड़ जाएगी। साथ ही, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता और उस घटना के न घटने की प्रायिकता का योग एक हो जाएगा। हमारे पिछले उदाहरण से, एक टीम के जीतने की प्रायिकता और उस टीम के न जीतने की प्रायिकता का योग 1 है।
कुछ बुनियादी अवधारणाएं
संभाव्यता की अवधारणाएं आपको सेट थ्योरी के पाठों की याद दिलाएंगी। इनमें से कुछ को निम्नलिखित तालिका का उपयोग करके समझाया जाएगा।
| बादल / बिन बादल | तेज हवा | हल्की हवा | कोई हवा नहीं | संपूर्ण |
|---|---|---|---|---|
| बादल | 3 | 8 | 10 | 21 |
| बिन बादल | 7 | 2 | 4 | 13 |
| संपूर्ण | 10 | 10 | 14 | 34 |
हम दो प्रकार की घटनाओं का उपयोग करके अवधारणाओं को समझने का प्रयास करेंगे। पहला दिन बादल या बिना बादल वाला दिन है। और दूसरा वह दिन है जिसमें तेज, हल्की या हवा नहीं है। उपरोक्त तालिका अवलोकन सारांश दिखाती है। उदाहरण के लिए, देखे गए 34 दिनों में से 21 बादल छाए हुए थे और 13 गैर बादल थे। तो, बादल छाए रहने की प्रायिकता है
\[ P_{cloudy}= \frac {Number \space \space of \space cloudy\space days}{Number \space of \space all \space outcomes \space i.e \space number \space of \space cloudy \space and \space non-cloudy \space days}= \frac {21}{34} \]
इसी प्रकार गैर-बादल की प्रायिकता \(\frac{13}{34}\) है। एकल परिणामों की प्रायिकताएं ‘सीमांत संभाव्यता’ (Marginal Probability) कहलाती हैं। और बादल और गैर-बादल की संभावनाओं का योग 1 है। साथ ही, तेज हवा, हल्की हवा और हवा नहीं होने की संभावनाओं का योग भी 1 होता है।
अक्सर हम किसी घटना और दूसरी घटना की प्रायिकताओं को समझना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, बादल और तेज हवा की संभावना। इसकी गणना करने के लिए, हम समुच्चय की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं। दो घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकताएँ किसके द्वारा निरूपित इस प्रकार की जाती है
\[ P(A \cap B) \]
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इसे ‘संयुक्त संभाव्यता’ भी कहा जाता है।
तालिका से, बादल और तेज हवा की प्रायिकता 3/34 के बराबर होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी 34 अवलोकनों में से 3 बार बादल छाए रहने के साथ तेज हवाएं देखी गईं।
कभी-कभी, हम ‘और’ के बजाय ‘या’ में रुचि रखते हैं। उदाहरण के लिए बादल या तेज हवा की संभावना क्या है? हम इसे के रूप में निरूपित करते हैं
\[ P(A \cup B) \] और इसकी गणना के ऐसे की जाती है
\[ P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
तो, बादल छाए रहने या तेज हवा चलने की प्रायिकता है
\[ P(Cloudy) + P(Strong \space Wind) - P(Cloudy \cap Strong \space Wind) \]
or \[ \frac{21}{34} + \frac {10}{34} - \frac {3}{34} = \frac {28}{34} \]
कभी-कभी \(P(A \cap B)\) 0 होगा। इसका मतलब है कि घटना A और B एक साथ नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, एक फुटबॉल मैच में, एक ही गेम जीतने और हारने वाली टीम। या, एक दिन बादल छाए रहेंगे और बिना बादल छाए रहेंगे। चूंकि, वे एक साथ नहीं हो सकते, इसलिए उन्हें ‘परस्पर अनन्य’ घटनाएँ कहा जाता है। इसी तरह की अवधारणा है जिसे ‘सामूहिक रूप से संपूर्ण’ कहा जाता है। घटनाएँ ‘सामूहिक रूप से संपूर्ण’ होती हैं, जब उनमें सभी संभावित परिणाम शामिल होते हैं और उनकी संभावनाएँ 1 तक जुड़ जाती हैं। हमारे उदाहरण में हवा से संबंधित संभावित परिणाम तेज़ हवा, हल्की हवा और हवा नहीं होने की संभावनाएँ हैं। वे एक तक जोड़ते हैं। इसलिए, वे ‘सामूहिक रूप से संपूर्ण’ हैं।
कृपया ध्यान दें कि परस्पर अनन्य को सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। पूर्व का अर्थ है, घटनाएँ जो एक साथ नहीं हो सकतीं। बाद का अर्थ है, घटनाएँ एक साथ हो सकती हैं, लेकिन वे एक दूसरे को किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करती हैं।
सशर्त प्रायिकता एक घटना ए के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना बी पहले ही घटित हो चुकी है। इसे \(P(A|B)\) के रूप में दर्शाया गया है और सूत्र है
\[ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
हमारे उदाहरण से तेज हवा की संभावना, यह देखते हुए कि दिन में बादल छाए हुए हैं, की गणना इस प्रकार की जा सकती है \(\frac {\frac{3}{34}}{\frac{21}{34}}\)
दो घटनाएँ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं यदि
\[ P(A|B)=P(A) \]
नियम
जोड़ नियम
गैर-परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए \(P(A \cap B)\) 0 है। तो सूत्र बन जाता है
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
गुणन नियम
सांख्यिकीय रूप से निर्भर घटनाओं के लिए
\[ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \]
हमारे उदाहरण से, बादल और तेज हवा की संभावना की गणना की जा सकती है
\[ P(Cloudy \cap Strong \space Wind) = P(Cloudy | Strong \space Wind) \times P(Strong \space Wind) \\ => P(Cloudy \cap Strong \space Wind) = \frac{3}{10} \times \frac {10}{34} \]
\(P(Cloudy | Strong \space Wind)\) की गणना सभी तेज़ हवा वाले दिनों (१०) में से बादल वाले दिनों (३) से की जाती है |
सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र घटनाओं के लिए
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
गिनती के नियम
विभिन्न तरीकों की कुल संख्या जिसमें n वस्तुओं को व्यवस्थित किया जा सकता है (क्रम में ) \(n!\) द्वारा दिया जाता है (फैक्टोरियल के रूप में उच्चारित)
\[ n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \]
यदि आपके पास एक क्रिकेट टीम में 11 खिलाड़ी हैं, तो आप \(11!\) क्रमपरिवर्तन बना सकते हैं अर्थात 3.9916810^{7} संभावित बल्लेबाजी क्रम।
यदि आपके पास ईवेंट 1 के लिए \(n_1\) संभावित परिणाम हैं, ईवेंट 2 के लिए \(n_2\) … ईवेंट i के लिए \(n_i\), तो i ईवेंट के संभावित परिणामों की कुल संख्या \(n_1\times n_2\times n_3 \times ... \times n_i\) है
क्रमचय
क्रमचय उन तरीकों की संख्या है जिनसे कोई n वस्तुओं के एक बड़े समूह से r वस्तुओं के सबसेट का चयन हो सकता है और चयन का क्रम महत्वपूर्ण है। तो अगर ए और बी दो वस्तुएं हैं, तो ए और फिर बी का चयन करना बी और फिर ए का चयन करने से अलग है।
सूत्र है
\[ _nP_r=\frac{n!}{(n-r)!} \]
क्रिकेट में, यदि 11 खिलाड़ी हैं, और आपको एक बल्लेबाज और एक धावक का चयन करने की आवश्यकता है, तो ऐसा करने के लिए \(_{11}P_2\) संभव तरीके हैं। यहां, क्रम मायने रखता है। खिलाड़ी ए बल्लेबाज और खिलाड़ी बी धावक होना और खिलाड़ी बी बल्लेबाज और खिलाड़ी के धावक होने के समान नहीं है।
संयोजन
संयोजन उन तरीकों की संख्या है जिनसे आप किसी उपसमुच्चय का चयन करते हैं, जैसे क्रमपरिवर्तन में, लेकिन क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, यदि a और b दो वस्तुएँ हैं, तो a और फिर b का चयन करना b और फिर a को चुनने से अलग नहीं है।
सूत्र है
\[ _nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} \]
एक दिवसीय क्रिकेट में, आउटफील्ड में पहले 10 ओवरों के दौरान केवल 2 क्षेत्ररक्षकों को अनुमति दी जाती है। विकेट कीपर और गेंदबाज के अलावा 2 आउटफील्ड क्षेत्ररक्षकों को रखने के लिए चुनने के लिए 9 खिलाड़ी हैं। यहां, आदेश महत्वपूर्ण नहीं है। 9 खिलाड़ियों में से, 2 खिलाड़ी संयोजन का चयन करने के लिए \(_9C_2\) तरीके हैं।
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