সম্ভাবনা তত্ব এর মূল
সম্ভাবনা
সম্ভাবনা (Probability ) হ’ল কিছু ঘটে যাওয়ার সম্ভাবনা। উদাহরণস্বরূপ লটারি জয়ের সম্ভাবনা। অথবা ভারতের কোনও নির্দিষ্ট ক্রিকেট ম্যাচ জয়ের সম্ভাবনা। বা বিক্রয়কর্মীর বিক্রয় করার সম্ভাবনা ইত্যাদি। এক কথায়, সম্ভাবনা অনিশ্চয়তার পরিমাণকে মাপ দেয়। গাণিতিকভাবে, এটি বিবেচনাধীন ফলাফলের সংখ্যা এবং সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।
\[ P(A)=\frac{r}{n} \] \(A\) হলো বিবেচনাধীন ইভেন্ট \(r\) হলো ইভেন্ট ফলাফল \(A\) এর সংখ্যা \(n\) সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা \(P(A)\) হ’ল ইভেন্ট \(A\) হওয়ার সম্ভাবনা
সম্ভাবনাগুলি তিনটি উপায়ে পাওয়া যায়।
- priori যেখানে ফলাফল আগের থেকে জানা। উদাহরণস্বরূপ, একটি মুদ্রা টস করার সময়, আপনি জানেন যে দুটি সম্ভাব্য ফলাফলের সমান সম্ভাবনা রয়েছে (হেড বা টেইল)।
- empirically যেখানে সম্ভাবনাগুলি গণনা করার জন্য পর্যবেক্ষণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি নতুন ভ্যাকসিন পরীক্ষা করা।
- mathematically যেখানে তাত্ত্বিক সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনগুলি সম্ভাবনার গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।
সম্ভাবনাগুলি সর্বদা 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে (উভয়ই অন্তর্ভুক্ত)। 0 এর সম্ভাব্যতার অর্থ হ’ল ইভেন্টটি হওয়ার কোনও সম্ভাবনা নেই। 1 এর সম্ভাব্যতা মানে এটি নিশ্চিত যে আগ্রহের ঘটনাটি ঘটবে।
সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সম্ভাব্যতার যোগফল সর্বদা 1হয় । উদাহরণস্বরূপ, একটি মুদ্রা টস করার সময়, হেড এর সম্ভাবনা এবং টেইল এর সম্ভাবনা যোগ করলে এক হবে। বা কোনও ফুটবল ম্যাচে সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সম্ভাবনা ১। অর্থাত্ কোনও দল জয়ের সম্ভাবনা, দলের পরাজয়ের সম্ভাবনা বা ড্র বা ম্যাচ বাতিল হওয়া ম্যাচ শেষ হওয়ার সম্ভাবনা যোগ করলে ১ হবে। এছাড়াও, একটি ইভেন্টের ঘটনার সম্ভাবনা এবং সেই ইভেন্টের না হওয়ার সম্ভাবনার যোগফল ও ১। আমাদের শেষ উদাহরণ থেকে, একটি দলের বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনা এবং সেই দলটি না জিতার সম্ভাবনার যোগফল 1।
কিছু মৌলিক ধারণা
সম্ভাবনার ধারণাগুলি আপনাকে সেট তত্ত্বের পাঠগুলি মনে করিয়ে দেবে। এর মধ্যে কিছু জিনিস নিচের তালিকার সাহায্যে ব্যাখ্যা করা হবে ।
| মেঘলা / মেঘলা না | প্রবল বাতাস | হালকা বাতাস | বাতাস নেই | মোট |
|---|---|---|---|---|
| মেঘলা | 3 | 8 | 10 | 21 |
| মেঘলা না | 7 | 2 | 4 | 13 |
| মোট | 10 | 10 | 14 | 34 |
আমরা দুটি ধরণের ইভেন্ট ব্যবহার করে ধারণাগুলি বোঝার চেষ্টা করব। প্রথমটি হ’ল মেঘলা বা মেঘলা না । এবং দ্বিতীয়টি হ’ল দিনটি তে তীব্র বা হালকা বাতাস আছে বা কোনও বাতাস নেই। উপরের সারণীটি পর্যবেক্ষণের সারাংশ দেখায় । উদাহরণস্বরূপ, 34 টি পর্যবেক্ষণ দিনের মধ্যে 21 টি মেঘাচ্ছন্ন ছিল এবং 13 টি মেঘলা ছিল না । সুতরাং, মেঘলা দিনের সম্ভাবনা হ’ল
\[ P_{cloudy}= \frac {Number \space \space of \space cloudy\space days}{Number \space of \space all \space outcomes \space i.e \space number \space of \space cloudy \space and \space non-cloudy \space days}= \frac {21}{34} \]
একইভাবে মেঘলাবিহীন এর সম্ভাবনা হ’ল \(\frac{13}{34}\). একক ফলাফলের সম্ভাব্যতাগুলিকে “প্রান্তিক সম্ভাবনা” (marginal probability ) বলা হয়। ` মেঘাচ্ছন্ন এবং মেঘাচ্ছন্ন না হওয়ার সম্ভাবনাগুলির সমষ্টি 1। এছাড়াও, প্রবল বায়ু, হালকা বাতাস এবং কোনও বাতাসের সম্ভাবনার সমষ্টিও যোগ করলে ১ হয় ।
প্রায়শই আমরা কোনো এক ইভেন্ট এবং অন্য আরেক ইভেন্টের সম্ভাবনাগুলি বুঝতে চাই। মানে দুটি ঘটনা একসাথে ঘটার সম্ভাবনা বুঝতে চাই । উদাহরণস্বরূপ, মেঘলা এবং বাতাসের সম্ভাবনা। এটি গণনা করতে আমরা সেট এর ধারণাগুলি ব্যবহার করি। এক সাথে দুটি ঘটনার সম্ভাবনা চিহ্নিত হয় , এই ভাবে
\[ P(A \cap B) \]
Credit:math.stackexchange.com
একে যৌথ সম্ভাবনাও (জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি ) বলা হয় ।
টেবিল থেকে, মেঘলা এবং শক্তিশালী বাতাসের সম্ভাবনা 3/34 সমান। কারণ 34 টি পর্যবেক্ষণের মধ্যে মেঘলা দিনের সাথে শক্তিশালী বাতাস 3 বার দেখা গেছে ।
অনেক সময় আমরা এবং এর পরিবর্তে বা (or) এ আগ্রহী হই । উদাহরণস্বরূপ মেঘলা বা তীব্র বাতাসের সম্ভাবনা কী? আমরা এটি এই ভাবে চিহ্নিত করি
\[ P(A \cup B) \]
এবং এটি গণনা করা হয়
\[ P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
সুতরাং, মেঘলা বা তীব্র বাতাসের সম্ভাবনা
\[ P(Cloudy) + P(Strong \space Wind) - P(Cloudy \cap Strong \space Wind) \]
বা
\[ \frac{21}{34} + \frac {10}{34} - \frac {3}{34} = \frac {28}{34} \]
কখনো কখনো \(P(A \cap B)\) 0 হবে । অর্থাৎ A এবং B একসাথে ঘটতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফুটবল ম্যাচে, একটি দল একই খেলা জিততে এবং হারতে। বা, মেঘলা এবং মেঘলা না থাকায় একটি দিন। যেহেতু, তারা একসাথে ঘটতে পারে না, তাই তাদের বলা হয় mutually exclusive ইভেন্ট। এরকম ই আরেকটি ধারণা হলো collectively exhaustive. একটি ঘটনার সবকটি সম্ভব ফলাফল হলো collectively exhaustive এবং তাদের সম্ভাবনা গুলি যোগ করলে ১ হয় । প্রবল বায়ু, হালকা বাতাস এবং বাতাসহীন এর সম্ভাবনাগুলি আমাদের উদাহরণে বায়ু সম্পর্কিত সকল সম্ভাব্য ফলাফল এবং এদের যোগ যোগ করলে ১ দাঁড়ায় । সুতরাং, তারা collectively exhaustive।
দয়া করে মনে রাখবেন যে mutually exclusive এবং পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন (Statistically Independent ) এক নয় । প্রথমটা হলো এমন ঘটনা যা এক সাথে ঘটতে পারে না পরবর্তী হলো , এমন ঘটনা যা একসাথে ঘটতে পারে তবে তারা একে অপরকে কোনওভাবেই প্রভাবিত করে না।
শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা (Conditional Probability) - হল একটি ঘটনার সম্ভাবনা যখন আরেকটি ঘটনা ঘটে গিয়েছে । এটিকে \(P(A | B )\) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং সূত্রটি হলো
\[ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা জানি যে দিনটি মেঘলা আমরা প্রবল বাসস এর সম্ভাবনা এই ভাবে বার করতে পারি \(\frac {\frac{3}{34}}{\frac{21}{34}}\)
দুটি ঘটনা পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন (Statistically independent ) হয় যদি
\[ P(A|B)=P(A) \]
বিধি
সংযোজন বিধি
non-mutually exclusive ইভেন্টগুলির জন্য
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
mutually exclusive ইভেন্টগুলির ক্ষেত্রে \(P(A \cap B)\) ০ হয়ে যায় । তাই সূত্র টি
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
Multiplication Rule
statistically dependent ইভেন্ট এর জন্য
\[ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \]
আমাদের উদাহরণ থেকে, মেঘলা এবং শক্তিশালী বাতাসের সম্ভাবনা হিসাবে গণনা করা যেতে পারে এই ভাবে
\[ P(Cloudy \cap Strong \space Wind) = P(Cloudy | Strong \space Wind) \times P(Strong \space Wind) \\ => P(Cloudy \cap Strong \space Wind) = \frac{3}{10} \times \frac {10}{34} \]
\(P(Cloudy | Strong \space Wind)\) গণনা করা হয় প্রবল বাতাস এর সমস্ত দিনের (10) মধ্যে মেঘলা দিনগুলি (3) র থেকে ।
statistically independent ইভেন্টের ক্ষেত্রে
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
গোনার উপায়
n টি জিনিস কে ক্রমে সাজানোর \(n!\) (n factorial) টি উপায় আছে
\[ n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \]
কোনও ক্রিকেট দলে যদি ১১ জন খেলোয়াড় থাকে তবে আপনি \(11!\) 3.9916810^{7} ভাবে তাদের ব্যাটিং অর্ডার সাজাতে পারবেন ।
যদি কোনো ইভেন্টে 1 এর \(n_1\) সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, ইভেন্ট 2 এর \(n_2\) ,…., ইভেন্ট i এর \(n_i\) সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, তবে i ইভেন্টগুলির মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা \(n_1 \times n_2 \times n_3 \times ... \times n_i\) হয় ।
(পার্মুটেশন )Permutation
একটি বৃহত্তর গ্রুপ n টি জিনিসের থেকে r জিনিসের উপসেটটি নির্বাচন করার যতগুলি উপায় (ক্রমে) আছে সেটিকে পার্মুটেশন বলে । এখানে ক্রম টি গুরুত্বপূর্ণ। সুতরাং যদি ক এবং খ দুটি অবজেক্ট হয়, ক এবং তারপরে খ নির্বাচন করা খ এবং ক এর নির্বাচন করা থেকে পৃথক।
এর সূত্র হলো
\[ _nP_r=\frac{n!}{(n-r)!} \]
ক্রিকেটে 11 জন খেলোয়াড় দের থেকে ২ জন (ব্যাটসম্যান এবং রানার) নির্বাচন করার \(_ {11}P _3\) টি সম্ভাব্য উপায় রয়েছে। এখানে, ক্রম টি প্রয়োজনীয় । খেলোয়াড় এ ব্যাটসম্যান এবং খেলোয়াড় বি রানার হওয়া আর খেলোয়াড় বি ব্যাটসম্যান এবং খেলোয়াড় এ রানার হওয়া এক নয় ।
কম্বিনেশন
যখন আগের n জিনিস থেকে আবার r জিনিস বেছে নিতে চান কিন্তু এবার ক্রম টি গুরুত্বপূর্ণ নয়, তখন সেটি কতরকম ভাবে করা যায়, সেটা হলো কম্বিনেশন । সুতরাং, যদি a এবং b দুটি অবজেক্ট হয়, a এবং তার পরে b নির্বাচন করা b এবং তার পরে a নির্বাচন করা আলাদা নয়।
এর সূত্র হলো
\[ _nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} \]
একদিনের ক্রিকেটে আউটফিল্ডে প্রথম 10 ওভারের মধ্যে কেবল 2 ফিল্ডারকেই অনুমতি দেওয়া হয়। উইকেটরক্ষক এবং বোলার ছাড়াও ২ জন আউটফিল্ড ফিল্ডার বেছে নিতে 9 জন খেলোয়াড় রয়েছেন। এখানে, ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ নয়। 9 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে 2 জন খেলোয়াড়ের সমন্বয় নির্বাচন করতে, এখানে \(_9C_2\) উপায় রয়েছে।
আপনারা এই ভিডিও টি ও দেখতে পারেন